Van kopen-en-vasthouden naar actief beleggen

Het oorspronkelijke concept

Het oorspronkelijke concept van de efficiënte frontier werd geïntroduceerd door Markowitz in 1952. Hij modelleerde het kopen en vasthouden van investeringen in effecten en obligaties als de gewogen som van verwachte individuele aandelenresultaten. Volgens de centrale limietstelling in de statistiek convergeren verwachte uitkomsten naar hun echte historische waarden als het gemiddelde over een willekeurig grote steekproef genomen wordt. Deze gewogen som van historische aandelenresultaten vertegenwoordigt op zijn beurt weer een gewogen gemiddelde. In de statistiek vertegenwoordigt zo'n gemiddelde een verwacht portefeuilleresultaat. De som van de gewichten van de long posities wordt op één genormeerd, van de short posities op min één. Men kan een hedge ratio introduceren als de ratio van de twee sommen. De vindingrijkheid van dit model ligt in het modelleren van jaarlijks verwachte portefeuilleresultaten, R, als gewogen sommen van n individuele aandelenresultaten R_i /h waar h[jaren] het handelsinterval in jaren aangeeft

 R = ∑_i={1,n} w_i R_i /h ,

terwijl hij de manier aangaf om de wegingen te berekenen door de persoonlijke beleggingsdoelstelling in termen van risico's en rendementen te optimaliseren:

Optimale portefeuilles: Beleggingsdoelstelling = Max_θ={w}[Rendement/Risico ] = Max_θ={w}[R/Variantie(R) ],

waarin θ de set van geoptimaliseerde wegingen voorstelt.

Beleggingsdoelstellingen kunnen van allerlei soorten zijn. Markowitz koos om de risico/rendement ratio te minimaliseren. Hij nam de Samengestelde jaarlijkse groei (Compounded Annual Growth Rate in het Engels, oftewel CAGR) als maat voor het jaarlijks verwachte portefeuilleresultaat en koos de Variantie van de portefeuille waardefluctuaties over tijd als zijn maat voor risico's. De Variantie (R) wordt berekend uit de fluctuaties in the individuele aandelenkoersen op bemonsterde tijdsintervallen en op de juiste wijze gecombineerd met de geschatte wegingen. De bemonsteringsfrequentie kan op inverse correlatietijden van een jaar, kwartaal, maand, week, dag, …, tot op een tik gesteld worden. Markowitz berekende portefeuillewegingen die het jaarlijks verwachte portefeuilleresultaat maximaliseerden met geminimaliseerde Variantie (Risico's). Zijn methodologie wordt vaak met Mean-Variance aangeduid, afgekort als MV. Hij introduceerde de efficiënte frontier, een grafiek die een kromme laat zien van gemaximaliseerde portefeuilleresultaten met geminimaliseerde risico's als functie van portefeuillediversificatie (Sizing). Portefeuille Sizing is direct evenredig met de grootte van je Inleg. Daar portefeuillediversificatie zich ook met risico's verhoudt, liggen de grafieken in een Rendement – Risico vlak. Deze grafieken stellen een belegger instaat om bij iedere portefeuillediversificatie die getoond wordt op de horizontale as, je maximale rendement met geminimaliseerd risico op te zoeken dat getoond wordt op de verticale as. Markowitz nam voor de prijsfluctuaties over tijd een Normale waarschijnlijkheidsverdeling (pdf) aan. Door die aanname vereenvoudigde hij het numerieke optimalisatieproces tot een lineaire multivariate regressie, waarvan de CPU kwadratisch toeneemt met het aantal effecten in de portefeuilles. Deze kwadratische afhankelijkheid kan onbetrouwbare resultaten voor grotere portefeuilles veroorzaken of als er grote schommelingen in de markt plaatsvinden.

Beperkingen van de MV methodiek

• Markowitz merkte bij de introductie van zijn model al op dat hij de optimalisatie op een enkel handelsinterval toepaste in een continu tijdsverloop. Vanuit wiskundig oogpunt kan die beperking opgelost worden door de gewogen som van historische aandelenresultaten R_{i, j} van ieder individueel effect i over alle N handelsintervallen h_j in een voortschijdende tijd te combineren:

  R_j = ∑_{i={1, n}} w_{i, j} R_{i, j} /h_j         j = {1, 2, ..., N }.

  Dit combineren wordt voor samengestelde beleggingen bepaald door

  C_j+1 = C_j (1+R_j )     met C₁ = Inleg,

  en voor vaste of constante beleggingen door

  C_N = (C₁/N) ∑_{j={1, N}} R_j .

  Voor vaste handelsperiodes hebben we h_j = h, zodat R_j als een back test (resultaat van het verleden) kan worden beschouwd voor zowel constante als samengestelde beleggingen. Deze tijdreeksen worden Fourier reeksen als we ieder element met de exponentiële factor exp(i2πt/h) met t = jh vermenigvuldigen:

  R_j = ∑_{i={1, n}} w_{i, j} R_{i, j} /h {exp(i2πj)}          j = {1, 2, ..., N }.

  Deze Fourier reeksen stellen het vermogensspectrum van constante en samengestelde investeringen voor als ze over het gehele verleden van ieder effect i lopen.  Daarom is het vermogensspectrum van de prijsfluctuaties van de beleggingsportefeuilles alleen gelijk aan in het verleden behaalde resultaten als er met een vast handelsinterval gehandeld wordt van de wieg tot het graf, oftewel van  j = {IPO, 2, ..., heden }. Dit introduceert de term "High-Frequency Trading" als uitbreiding op de kopen-en-vasthouden strategie van Markowitz’s Modern Portfolio Theory (MPT). Voor vermogensspectra van niet-stationaire random fluctuaties geldt het Wiener-Khinchin-Einstein theorema. Het is een van de weinige theorema's in de statistische fysica die het concept van voorspelbaarheid behandelt. Dit theorema stelt dat de pieken in het vermogensspectrum zich op frequenties bevinden met de sterkste autocorrelaties, dus, met de beste voorspelbaarheid. Daarom kunnen we de optimaal gewogen portefeuilles timen door het handelsinterval op te sporen dat de jaarlijkse resultaten of ieder ander beleggingsdoel optimaliseert:

  Markt timing: Beleggingsdoelstelling = Max_θ={hpiek}[Reward/Risk ].

  Hierin geeft  θ de handelsintervallen h_piek die pieken in de autocorrelaties van de "reward/risk" ratio, die weer beschouwd kan worden als een fluctuerend signaal.

  Dit houdt in dat de Fourier spectra van zowel samengestelde als van constante investeringen op tijdsstippen t=jh kunnen pieken. Ieder handelsinterval heeft zijn eigen set van geoptimaliseerde weegcoefficiënten θ . Iedere back test of behaalde resultaten uit het verleden heeft zijn beste voorspeller van succes:

  Behaalde resultaten uit het verleden zijn de beste voorspeller van succes (Jim Simons, 2005).

• Dit geeft de belegger de mogelijkheid om handelsintervallen en hedge ratio's te optimaliseren in lijn met de beleggingsdoelstelling NADAT de weegcoefficienten berekend zijn. Uiteindelijk kom je dan tot een tijdreeks van optimale beleggingsportefeuilles. De CPU wordt evenredig groter met het aantal elementen in de tijdreeks. Vandaar dat de CPU evenredig groeit met het aantal handelsintervallen en met de portefeuille grootte. Het is vooralsnog niet vanzelfsprekend dat als iedere portefeuille van de tijdreeks geoptimaliseerd is voor risico's en rendenten, de totale som van de resultaten van alle handelsintervallen eveneens geoptimaliseerd is in termen van risico's en rendementen. Onze software verifieert dat voor ieder game plan. Het is ook niet vanzelfsprekend dat de individuele aandelenresultaten dezelfde pdf hebben. Onze software past geen pdf toe bij het optimaliseren. Ook past de software geen bewegingsvergelijkingen toe zoals de Fokker-Planck vergelijking of vergelijkingen van dezelfde vorm (Black-Scholes, Navier Stokes, of enige andere vorm van diffusievergelijkingen). De beste fit (beste voorspeller) van de waardefluctuaties met zulke vergelijkingen is de zogenaamde Cramer-Rao lower bound, een standaard wiskundige procedure om het handelsinterval op te sporen dat het beste past bij de fluctuaties. Wij zien geen enkele reden om deze vergelijkingen als extra informatie toe te voegen aan de historische prijsfluctuaties. Die toevoeging maakt de berekeningen alleen maar ingewikkelder. Bovendien zien we geen enkele reden om AI, ML, en NLP toe te passen, omdat de beste voorspeller wiskundig bepaald wordt door het theoremana van Wiener-Khinchin-Einsten met relatief eenvoudig geprogrammeerde berekeningen.  
• Als tweede punt van kritiek wordt wel genoemd dat de Variantie en de wortel daaruit (standaarddeviatie) geen goede maten voor risico's zijn. Vanuit wiskundig oogpunt kun je iedere vorm van kwantificeerbaar risico kiezen die je wilt minimaliseren. Wij gebruiken de maximale terugval sinds de eerste uitgifte (IPO) als maat voor risico en de jaarlijks verwachte resultaat als maat voor je rendement. De maximale terugval wordt meestal bepaald over vele handelsintervallen die over verschillende crises gaan. Dit houdt in dat de validatieperiode 15+ jaar zou moeten bedragen. 
• Als derde punt van kritiek geldt de aanname van een Normale waarschijnlijkheidsverdeling die passend wordt gemaakt met de waardefluctuaties van de portefeuilles. Zoals dat voor iedere verdeling geldt zullen de uitlopers daarvan de echte prijsfluctuaties in de effectenmarkten niet goed kunnen volgen. Gebaseerd op de aanname dat in het verleden behaalde resultaten je beste voorspeller zijn van succes, passen we systematisch de screening en ranking voorwaarden van onze gameplannen toe op de historische gegevens van de effecten uit onze WatchList in onze database. Ons ranking systeem is tijdsinvariant, zodathet afhangt van correlatietijden. Er worden alleen slotdagkoersen en volumes gebruikt. Dit systematisch screenen en ranken geeft een tijdreeks van portefeuilles op vooraf ingestelde handelsintervallen. De gewichten en handelstijden van iedere portefeuille worden geoptimaliseerd naar de risico's en rendementen van de persoonlijke beleggingsdoelstelling. Daarom is er geen pdf nodig voor het optimalisatieproces, alleen methodes  die gebaseerd zijn op stijgende of dalende gradiënten. Het belangrijke voordeel van tijdsinvariant ranken is dat bij het optimaliseren van de beleggingsdoelstelling de CPU lineair toeneemt met het aantal effecten in de portefeuilles en met het aantal handelsintervallen. Dit systeem heeft zijn betrouwbaarheid en doelmatigheid tijdens grote marktschommelingen in de praktijk bewezen. Daar veel beleggers de volatiliteit, scheefheid, en extra kurtosis van portefeuilleresultaten willen onderzoeken, ontwikkelen we de "Value at Risk" (VaR) van onze gesommeerde tijdreeksen van optimale portefeuilles volgens de methode van Cornish-Fisher

  VaR_{Resultaten Ruimte} = σ√N [-1.96 + 0.474μ₁/√N - 0.0687μ₂/N + 0.146μ₁²/N ] - 0.5σ²N ,

  waarin N het aantal handelsintervallen in de aanbevolen Validatieperiode voorstelt, en σ, μ₁, en μ₂ respectievelijk de volatiliteit,scheefheid, en extra kurtosis voorstellen die bepaald worden uit de portefeuillresultaten. Deze grootheden worden berekend uit de berekende Momenten, die op hun beurt op de volgende wijze berekend worden uit de portefeuilleresultaten:

  - het nulde moment, M₀, dat gelijk is aan het aantal observaties in de validatieperiode

  - het eerste moment, M₁, is het jaargemiddelde van alle geobserveerde resultaten gedurende validatie

  - het tweede M₂, derde M₃, en vierde moment M₄, worden als volgt op de standaard manier geformuleerd:

  M_k = ∑_j={1,N} (R_j - M₁ )^k / M₀      voor k = 2, 3, 4 .

  De volatiliteit, σ, wordt gegeven door √M₂, de scheefheid, μ₁, door M₃/σ³, en de extra kurtosis, μ₂, door M₄/σ⁴ - 3.

  De relatieve volatiliteit, β, van jaarlijkse beleggingsresultaten, C_j, wordt gedefinieerd als

  β = COV_{Cj, Ind}/VAR_Ind ,

  waarin relatief betekent dat de volatiliteit relatief ten opzichte van een Index, Ind, genomen wordt. Het jaarlijkse relatieve rendement, α, wordt gedefinieerd als

  α = (C - r_rf ) - β (r_Ind - r_rf ) ,

  waarin relatief betekent dat het rendement relatief ten opzichte van de risicovrije rente, r_rf, en ten opzichte van de jaarlijkse resultaten van een Index, r_Ind, genomen wordt, en waarin C het jaarlijkse beleggingsresultaat aangeeft, oftewel samengesteld of als de vrije kasstroom op vaste beleggingsbedragen. De Sharpe ratio is een rendement/risico ratio die gedefinieerd wordt als:

  Sharpe ratio = (C - r_rf ) / σ .

  De Risico Indicator wordt voor alle beleggingsmarkten onder de MiFid2 regels voor PRIPPs producten van de Europese Unie berekend uit de Var-equivalente-Volatiliteit (VeV), die de volgende vorm aanneemt :

  VeV = {√(3.842 - 2*VaR_{Resultaten Ruimte} - 1.96)}/√(Nh) .

  Onze software verbindt de berekende VeV met de voorgeschreven Risisico Indicator uit de MiFid2 regels. Samenvattend kunnen we stellen, dat we onderscheid kunnen maken tussen drie verschillende systemen die de {Risico, Rendement} ruimtes definiëren:

  1. Rendementen worden gedefinieerd als jaarlijks verwachte beleggingsresultaten (AER), zowel op samengestelde investeringen als op vaste investeringen. Risico's worden gedefinieerd als de maximale terugvallen  (MDD) op die rendementen.
  2. Rendementen zijn de jaarlijks verwachte beleggingsresultaten ten opzichte van de risico-vrije rente en ten opzichte van een Index. Ze worden "alfa" genoemd. Risico's worden gedefinieerd als de spreidingen op die rendementen ten opzichte van de overeenkomstige spreidingen van een Index.  Zij worden "bèta" genoemd.
  3. Rendementen worden gedefinieerd als de Value at Risk (VaR) in de beleggingsresultaten ruimte. Risico's worden gedefinieerd als de Var-equivalente-volatiliteit (VeV). Deze definities worden gegeven in de MiFid2 regels van de Europese Unie. 

  De wiskundige voorstellingen van deze drie verschillende {Risico, Rendement} ruimtes kunnen alsvolgt worden samengevat:

  {Risico, Rendement} ↔ {MDD, AER} ↔ {β, α} ↔ {VeV, VaR} .

  Volgens ons hebben privé beleggers de meeste grip op de eerste definitie, professionele beleggers managen hun risico's en rendementen met bèta en alfa,en Europese regelgevers gebruiken de derde set van definities, die gebaseerd zijn op de Cornish-Fisher ontwikkeling als verdelingsfunctie van de resultatenfluctuaties. De eerste beide sets definities maken niet noodzakelijkerwijs gebruik van een verdelingsfunctie, omdat zij meestal volledig gebruik kunnen maken van actuele historische gegevens.

• Als vierde mogelijkheid tot uitbreiding geldt de veronderstelling van multipele resultaten factoren. De multipele-factor methode werd geïntroduceerd door Fama en French in 1992. Zij modelleerden de portefeuille resultaten als een gewogen som van marktopslagen of factoren. Hun oorspronkelijk voorstel voegde twee nieuwe coëfficiënten toe aan het zogenaamde Capital Asset Pricing Model (CAPM) en veranderde de definitie van de eerste coëfficiënt β. Deze coëfficiënten worden in een lineaire regressie berekend NADAT de gewichtscoëfficiënten berekend zijn. Je hebt deze factoren niet nodig om de optimale gewichtsfactoren te berekenen. Zulke factoren kunnen instrumenteel zijn bij de "due diligence" om de beleggingen te ranken in termen van veiligheidsmarges, zoals "Value Investeerders" doen. Ze worden ook toegepast bij het ontwerpen van ETFs die bepaalde marktopslagen volgen (tracken). Dat is momenteel een $900 Miljard business. 

Resultaten uit het verleden zijn de beste voorspeller van succes maar vormen geen garantie
Als we in het verleden de tijdreeksen van optimale portefeuilles met een zoekalgoritme opzoeken, dan gebruiken we het jaarlijks verwachte rendement (AER) als Rendement en de Maximale Terugval (MDD) als Risico. We doen geen aannames over waarschijnlijkheidsverdelingen (pdf) van de waardefluctuaties van de portefeuilles. De gevonden portefeuilles worden optimale portefeuilles genoemd, omdat ze gemaximaliseerde rendementen met geminimaliseerde risico's hebben. Door de gewichtscoëfficiënten te variëren en de resulterende AER en MDD te berekenen, zoekt het zoekalgoritme naar optimale combinaties van deze beide grootheden. Er is dus een zoekalgoritme nodig om de portefeuille wegingingen op te sporen die de MAR indicator (=AER/MDD) maximaliseren, of alleen de AER maximaliseren, of de MDD minimaliseren als zogenaamde objectief functies. Ook andere ratio's kunnen als objectief functies genomen worden zoals de Sharpe ratio en de Sortino ratio. Wij geven echter de voorkeur aan de MAR indicator. Het maximaliseren van deze indicator komt het beste overeen met het maximaliseren van de beleggingsdoelstelling van een consument. Wiskundig gezien maximaliseren we deze indicator met een stijgende gradiënt methodiek.

Stel beleggers instaat om vooraf hun maximale jaarlijks verwachte resultaat op hun inleg te bepalen
Portefeuille managers selecteren gewoonlijk hun effecten uit een WatchList. Wij hebben een WatchList opgesteld van ongeveer 1300 liquide effecten op Wall Street met dagomzet volumes van meer dan $1 miljoen sinds 2005. We berekenen daaruit de tijdreeksen van optimale portefeuilles met handelsintervallen van 13 weken. We berekenen deze tijdreeksen uit de historische eod prijzen van de dataproviders CSI en Yahoo. De grafiek van de efficiënte frontier geeft de maximale jaarlijkse resultaten met minimale terugvallen als functie van aantal effecten in deze optimale portefeuilles (doorgetrokken lijnen):

Iedere belegging heeft zijn eigen optimale Jaarlijks Verwachte Resultaat (AER). Portefeuilles worden geoptimaliseerd, zodat de wegingen de MAR indicator = AER/Max Drawdown (doorgetrokken lijnen: MAR>1.2) of de AER (gestippelde lijnen: MAR>0.8) maximaliseren. Optima worden wiskundig berekend met een gradient-descent achtige methode.

De grafiek stelt de belegger instaat om het maximaal jaarlijks verwachte resultaat tegen een minimaal markt risico vooraf te evalueren voor een gegeven inleg of portefeuillediversifiëring. Deze efficiënte frontier op basis van onze WatchList van liquide effecten is samengevat in de volgende tabel:

Een retail belegger die bijvoorbeeld met een inleg tussen $1000 en $10,000 wil beginnen te beleggen kan DigiFundManager slechts één effect iedere 13 weken uit deze WatchList van liquide effecten laten selecteren, daarbij gebruikmakend van bepaalde screening en ranking voorwaarden. Zijn Jaarlijks Verwachte Resultaat wordt over de afgelopen tien jaar gevalideerd en bedraagt 42% na kosten en belastingen, met een maximale terugval van -8.5%. Gedurende de tien jaar voor deze tien jaar zijn de risico’s en resultaten fors hoger maar nog steeds gebalanceerd. Andere Watchlists zullen andere efficiënte frontiers geven, die bij de juiste hedging voorwaarden meestal verbeterd kunnen worden.

DigiFundManager en het voorspellen van de toekomst, machine leren, kunstmatige intelligentie en NLP
DigiFundManager past deze concepten niet toe. Het enige wat het doet is dat het programma het verleden valideert van gescreende, gerankte, en van optimaal gewogen en getimede portefeuilles. Validatie of out-of-Sample testen wordt bewerkstelligd met het berekenen van de optimale portefeuilles op vrijdagen op basis van sluitkoersen en het berekenen van de risico’s en rendementen op de daaropvolgende maandagen op sluitingstijden. Op die laatste tijdsstippen wordt aangenomen dat het echte verhandelen van de portefeuilles plaatsvindt. Bij het digitaliseren van de validatie van de vier activiteiten van portefeuillemanagement gebruiken we alleen de historische sluitkoersen en volumes. Volgens de Efficiënte Markthypothese is alle beschikbare informatie in die sluitkoersen verwerkt. Bovendien nemen we aan, dat het verleden de beste voorspeller van succes is, en dat statistiek geen onderscheid maakt tussen verschillende soorten risico's. We maken geen schatting van een voorspellingsinterval, waarin een bepaalde toekomstobservatie plaatsvindt. We doen dat niet, omdat de prijsfluctuaties van de aandelenmarkten niet gefit kunnen worden met waarschijnlijkheidsverdelingen als er bloed op de financiële markten vloeit. Als we de 1300+ effecten uit de WatchList met liquide effecten ranken, dan doen we dat op basis van relatieve waarschijnlijkheid om in prijs te stijgen en baseren die berekening alleen op basis van voorafgaande prijsbewegingen. Op 10-Okt-2014 berekenen we bijvoorbeeld dat op basis van voorafgaande prijsbewegingen FRO de hoogste rang kreeg in de WatchList van 1300+ effecten. Wij wisten niet en hadden ook niet kwantitatief afgeschat dat het volgende kwartaal FRO’s koers met een factor vier zou gaan stijgen. Met ons ranking algoritme kreeg FRO de hoogste rang op dezelfde wijze toegewezen als de andere effecten de hoogste rang in andere kwartalen toegewezen kregen. De praktijk wijst uiteindelijk de bruikbaarheid uit. Ons kwantitatief investeringssysteem van maximale jaarlijks verwachte resultaten met minimaal risico met handelsintervallen van 13 weken zoals in bovenstaande grafiek en tabel getoond worden is een concurrerend systeem, zelfs met HFT.

Jaarlijks Verwachte Resultaten en overgediversifieerde portefeuilles
Voor een inleg tussen $1000 en $10,000 zou een belegger ook optimale portefeuilles kunnen opzetten van bijvoorbeeld zes long posities en dan meer brokerkosten betalen. Zijn Jaarlijks Verwacht Resultaat zou dan afnemen van 42% naar 22% met een maximale terugval van -11%. Een belangrijke constatering is dat handelsintervallen van 13 weken hogere Jaarlijks Verwachte Resultaten produceren dan handelsintervallen van 1 week voor portefeuilles die uit deze WatchList worden geselecteerd. De efficiënte frontier van onze WatchList van liquide effecten doet niet onder voor de resultaten van High Frequency Trading (HFT). Het opschalen van de inleg naar het niveau van hedge funds is een ander vak. Als je de inleg van onze grootste portefeuilles van 384 liquide effecten zou opschalen, dan zouden we een inlegverhoging van $4 miljoen naar $500 miljoen kunnen voorzien. De missie van onze software service is echter om low-frequency kwantitatief beleggen naar de retail belegger te brengen.

Jan G. Dil en Nico C. J. A. van Hijningen
15 feb 2021