Het Modelleren van Beleggen versus het Modelleren van Natuurkunde

Hoe modelleer en digitaliseer je beleggingsmanagement?
De activiteiten van beleggingsmanagement bestaan uit vijf processen: screenen, ranken, timen, wegen, en valideren. Screenen is een filterproces, en ranken is een sorteerproces. Timen en wegen gebruiken schattingstechnieken of regressie om de optimale timing- en weegvoorwaarden te berekenen op basis van historische koersgegevens en een beleggingsdoelstelling. Deze twee processes kunnen gecombineerd worden met aannames over een waarschijnlijkheidsverdelingsfunctie en een propagatiemodel voor beurskoersen. Valideren is het proces van back testen van de verwachtingswaarden van risico’s en rendementen over een vooraf gegeven validatieperiode. Het wordt ook wel "In-sample testen" genoemd. Ranken kan gebruikmaken van regressie tot een gemiddelde of van het volgen van een trend. Schattingstechnieken zijn zoekmachines die een doelstelling optimaliseren en in een beste fit voorzien tussen historische koersgegevens en getimede en gewogen impulsresponses. Deze technieken vormen het domein van experts in signaalprocessen, econometrie, statistiek en wiskunde. Risico’s kunnen ook een irrationele component hebben. De financiële autoriteiten en de wetgeving zullen de lijn moeten trekken tussen irrationele en rationele gevechten in de financiële markten.

De vijf aannames van kwantitatief financieren
Kwantitatief financieren wordt ook wiskundig financieren genoemd. Het vakgebied bestudeert de statistiek van historische beurskoersen. Het wordt verdeeld in twee segmenten: (I) derivaten en (II) risico en portefeuille management. De beoefenaar van het vak wordt een quant genoemd. Die kan zich op een of meer van de volgende aannames beroepen:

Koersen en volumes hebben alle beschikbare informatie verwerkt tot ieder handelsmoment
Aandelenkoersen komen tot stand in perfecte concurrentie
Het tijdsgemiddelde van iedere fluctuatie is gelijk aan een ensemblegemiddelde op die tijd
Koersfluctuaties voldoen aan een tijdsinvariante waarschijnlijkheidsverdelingsfunctie
Iedere individuele fluctuatie voldoet aan een tijdsinvariante bewegingsvergelijking

Einsteins aannames in zijn theorie uit 1905 van de Brownse beweging komen overeen met de aannames (4) en (5) voor koersschommelingen van de financiële markten.

Worden koersschommelingen net als de Brownse beweging bepaald door causale relaties?
De Brownse beweging laat de causale verbanden zien tussen kracht, massa en versnelling. Einstein maakte die verbanden voor het eerst zichtbaar door te stellen dat iedere individuele fluctuatie voldoet aan de diffusievergelijking. Natuurkunde is het vakgebied van causale bewegingen: krachten zijn oorzaken van bewegingen. Iedere individuele beweging is deterministisch bepaald in de klassieke mechanica. De koersbewegingen op de beurs zijn fundamenteel onvoorspelbaar, zodat causaliteit daar geen rol in kan spelen.

Hoe vereenvoudigen de vijf aannames de vijf managementprocessen van vermogensbeheer?
Wij zagen dat slechts vijf processen het resultaat van beleggen bepalen. Het wiskundig modelleren van deze processen is relatief eenvoudig. Alleen het wegen is enigszins complex, omdat het een optimalisatie inhoudt met een aantal dimensies dat overeenkomt met de portefeuillegrootte. De vijf aannames vereenvoudigen de wiskunde van succesvol beleggen nog verder:

De Efficiënte Markt Hypothese (EMH)
Aanname (1) heet de Efficiënte Markt Hypothese (EMH). Met deze hypothese kunnen aannames (2) - (5) geen nieuwe informatie toevoegen bij toepassen van statistische technieken op de historische koersen. De enige output die dergelijke aannames kunnen geven is het kwantificeren van zogenaamde nuisance parameters die verkregen worden door de historische koersen met deze aannames te fitten. Een nuisance parameter is iedere gefitte parameter die niet van direct belang is. Het toevoegen van nuisance parameters kan tot overfitting en suboptimaal gedrag leiden.

Handelen in perfecte concurrentie
Aanname (2) houdt in dat iedere individuele order de aandelenkoers niet beïnvloedt. Deze aanname geldt als iedere individuele investering een bedrag betreft dat zeer klein is, zeg 1%, ten opzichte van het totale dollar-dag volume van het individuele aandeel. We handelen dan in een Perfecte Markt.

De vijf processen van portefeuillemanagement met vier parameters van direct belang
Portefeuillemanagement maakt gebruik van processen die screenen, ranken, timen, wegen, en valideren. De parameters van de eerste vier processen zijn van direct belang. Daar de EMH geldt voor de historische koersgegevens, hebben deze vier processen in principe alleen die gegevens nodig als input. In de eerste twee processen, screenen en ranken, configureert de quant de parameters die deze processen bepalen. Hij kan aanname (3) gebruiken om een tijdsinvariant ranking proces te configureren. Deze aanname bepaalt het ergodisch statistische gedrag. In de weeg- en timeprocessen, worden de weeg- en time-parameters in een numeriek optimalisatieproces berekend door het beleggingsdoel te optimaliseren.

Wegen volgens Markowitz en risicofactoren volgens Fama-French
De wiskundige formulering van wegen werd door Markowitz in 1952 geïntroduceerd. Hij stelde voor om de variantie van de gewogen portefeuilleresultaten te minimaliseren en nam een Normale waarschijnlijkheidsverdelingsfunctie aan voor deze resultaten. Standaard regressie geeft dan de weegfactoren. Wij minimaliseren de Risico/Rendement ratio met de maximale terugval als Risico en de som van gewogen jaarlijkse resultaten als Rendement. Aannames (4) en (5) zijn niet nodig in die benadering. Door de Risico/Rendement ratio te minimaliseren bereken je optimale portefeuilles. Deze optimale portefeuilles worden zodanig gewogen dat je beleggingsdoel bereikt wordt met geminimaliseerd risico en gemaximaliseerd rendement. De uitbreiding van een risicofactor naar een beperkt aantal risicofactoren werd in 1993 geïntroduceerd door Fama-French. Deze benadering voegt nuisance parameters toe maar geen nieuwe informatie aan het optimalisatieproces van de weegfactoren.

Machine leren (ML), neuro linguïstisch programmeren (NLP), en kunstmatige intelligentie (KI)
ML, NLP, en KI zijn technieken die aanname (5) parametriseren. Zolang koersfluctuaties fundamenteel onvoorspelbaar blijven volgens aanname (1), zal het toepassen van deze technieken resulteren in het fitten van nuisance parameters wat geen nieuwe informatie oplevert. In Einsteins formulering van de Brownse beweging wordt de verbinding tussen verleden, heden, en toekomst van iedere individuele fluctuatie bepaald door de diffusievergelijking met de diffusiecoëfficiënt als fundamentele parameter. Equivalente parameters voor koersbewegingen kwantificeren nuisance parameters, daar voor portefeuillemanagement alleen screening, ranking, weeg, en timing parameters van direct belang zijn.

Geeft fundamentele analyse een concurrentievoordeel?
Naast aannames die het risicogedrag van de financiële markten betreffen, geven financiële experts vaak hun DCF (Discounted Cash Flow) projecties voor individuele effecten of voor ander soort beleggingen. Ze baseren die projecties op eigen informatie, laatste nieuws, en eigen inzicht. Deze projecties in de toekomst worden vaak schattingen van analisten genoemd. Dergelijke toekomstige schattingen of veranderingen daarin kunnen als extra voorwaarden aan de ranking modellen of schattingstechnieken opgelegd worden. Deze additionele voorwaarden beïnvloeden de toekomstige bewegingen van de financiële markten. Daarom zal de belegger die hiervan als eerste de consequenties begrijpt een concurrentievoordeel hebben.

Geeft Technische analyse een concurrentievoordeel?
Naast aannames die de propagatie van het algemene risicogedrag en het toekomstige gedrag van individuele investeringen ten gevolge van fundamentele analyse (DCF) betreffen, wordt aan bepaalde patronen van technische indicatoren geloof gehecht dat ze mogelijk resulteren in winstgevende beleggingen. Dergelijke beleggingssystemen vereisen vaak een tijdsresolutie van minder dan een kwart van een seconde, en dat speelveld is niet gelijk voor iedere deelnemer. Bovendien zijn de trendvolgende patronen van technische analyse nog niet wetenschappelijk onderbouwd.

Geeft algoritmisch handelen een concurrentievoordeel?
Algoritmisch handelen digitaliseert het zoeken naar de beste deal voor de belegging op het tijdstip dat daarvoor gepland staat. De kleinste tijdseenheid waarmee gehandeld wordt kan van de ordegrootte worden van een microseconde en wordt dan een belangrijk onderdeel van het handelen. Dat maakt het speelveld niet gelijk voor iedere deelnemer. In de praktijk betekent dit dat de kosten van het opschudden van de berekende optimale portefeuille per handelsalgoritme kunnen verschillen. De uitkomst van dergelijke handelsalgoritmes kunnen anders uitvallen voor dezelfde optimale portefeuilles op verschillende tijdstippen. Daarom zijn de resultaten van dergelijke algoritmes lastig te back testen of te valideren. Wij geven er de voorkeur aan om Market-On-Close orders te gebruiken (zie verderop). Zulke orders hebben een voorspelbare kostenstructuur en uitkomst en zijn goed toe te passen in het gebied van Low-Frequency trading waar wij opereren. We erkennen echter wel dat bij High-Frequency trading algoritmisch handelen een concurrentievoordeel voor de handelskosten en prijsstellingen kan geven.

Welk soort orders maakt het valideren mogelijk van je beleggingssysteem of game plan?
Of op de lange-termijn de hierboven beschreven additionele informatie de geïnformeerde belegger op een concurrentievoordeel zet kan direct worden afgeleid uit het systematisch back testen van de beleggingen voor- en achteraf. Valideren is in principe mogelijk met Market-On-Close (MOC) orders, waarbij ook nog gescreend kan worden op een minimum liquiditeit, zodat de voorwaarde voor Perfecte Concurrentie benaderd wordt. Zulke orders lijken een gelijk speelveld voor iedere belegger te creëren. Zolang de extra informatie wordt opgelegd op het ranking model of op de schattingstechniek nadat het gemeengoed is geworden, zal het wat ons betreft niet uitmaken. In dat geval is de additionele informatie reeds verwerkt in de historische koersgegevens die door de schattingstechnieken gebruikt worden. Zolang de additionele informatie nog geen gemeengoed is, kunnen beleggers die er wel van weten van profiteren. De lijn tussen voorkennis en gemeengoed is het vakgebied van de financiële autoriteiten.

Zijn de gewogen gemiddelden van het verleden de verwachtingswaarden van de toekomst?
Net zoals in het vakgebied van verzekeringen zijn in de financiële markten de gewogen gemiddelden van het verleden de verwachtingswaarden van de toekomst. Om verwachtingswaarden in de financiële markten te berekenen zijn er geen distributiefuncties, noch enige set van wetten of regels die de dynamica van de financiële markten zouden beheersen nodig. Alleen de “schone” historische koersgegevens zijn nodig om de beste fit te berekenen tussen deze historische gegevens en de optimaal-gewogen en getimede beleggingsportefeuilles. Die optimale beleggingsportefeuilles zijn optimaal afgestemd op ieders eigen beleggingsdoelstelling en keuzes van hoe risico’s met rendementen gebalanceerd moeten worden. Als een eerste benadering kan men het gewogen gemiddelde als een lineaire optelsom van gewogen financiële resultaten beschouwen als ergodiciteit als statistisch gedrag wordt aangenomen. Als je je beleggingsdoelstelling als wiskundige doelstelling van je schattingstechniek neemt, dan zullen de geschatte weegfactoren op ieder gewenst tijdstip resulteren in optimaal gewogen en getimede beleggingsportefeuilles. De lengte van een back test (validatie) kan als een maat voor de betrouwbaarheid van je game plan genomen worden. Screenen wordt vaak gedaan op een minimale handelsliquiditeit, op een redelijk groeipotentieel en op het uitsluiten van Penny Stocks. Wat ranken betreft kan men de effecten of beleggingen sorteren in termen van afnemende waarschijnlijkheid om in prijs toe te nemen voor een gegeven set van correlatietijden. Daarbij wordt een proces van regressie naar het gemiddelde toegepast. Als risico wordt meestal de maximale spreiding op het gemiddelde genomen (maximum drawdown).

Dus hoe modelleer en digitaliseer je de activiteiten van beleggingsmanagement?
Je hebt een webdesigner, softwareprogrammeur en systeembeheerder nodig. De webdesigner ontwerpt de lay-out van de gebruikersinterface van het programma, omdat alle moderne applicaties via een browser gaan. De softwareprogrammeur schrijft de codes van de applicatie (de vijf processen) en beheert de cross-platform events. De zogenaamde quant is degene die de vijf processen van een belegger in fondsen begrijpt en weet hoe hij die de processen moet modelleren en in softwarecode om moet zetten. Gewoonlijk schrijft een andere softwareprogrammeur de event-gedreven cross-platform codes. De systeembeheerder zorgt voor de hosting, de setup en onderhoud van de verschillende servers en van het Content Management System. Het gebruik van Market-On-Close orders zorgt ervoor dat er voor- en achteraf betrouwbaar gevalideerd kan worden.

Hebben banken niet de verantwoordelijkheid instabiliteit van het financiële systeem te voorkomen?
Als banken hun quants willen laten spelen met niet-lineaire modellen en grote posities, dan is vanuit wiskundig oogpunt bekend dat optimalisatie routines vatbaar zijn voor instabiliteiten en lokale optima. Dus als grote spelers het spel spelen van niet-lineair modelleren, dan kan de uitkomst van het spel een instabiel evenwicht zijn.

Iedere privébelegger heeft zijn eigen set van keuzes en omstandigheden die horen bij zijn eigen unieke beleggingsfonds.
De vijf rationale processen van beleggingsmanagement laten het bestaan en de berekening toe van zogenaamde optimale portefeuilles. Iedere optimale portefeuille is op ieder gegeven tijdstip anders en op unieke wijze afgestemd op de investeringsgrootte, portefeuillegrootte, investeringsdoelstellingen voor het in balans brengen van risico’s en rendementen, en op de uniek ingestelde screen- en rankvoorwaarden bij een gegeven kwaliteit van de dataprovider en hoogte van de brokerkosten. Praktisch iedere individuele set van keuzes en omstandigheden vertaalt zich naar een unieke set van optimale beleggingsportefeuilles waarvan de risico’s en rendementen gevalideerd kunnen worden over een van te voren ingesteld aantal jaren.

Na uitgebreid back testen van verschillende gameplannen kunnen onze bevindingen als volgt worden samengevat:

Hoe meer je wilt beleggen, des te minder effecten zijn er op de beurs beschikbaar om in te handelen, en des te moeilijker is het meestal om rendement te maken.
Hoe minder je wilt beleggen, des te sneller zullen je brokerkosten je rendement teniet doen.
Dit geldt ook voor vaker handelen en voor grotere portefeuilles.
Echter, grotere portefeuilles geven je kans op een betere spreiding en hedging met een lager risico.
Voor kleinere en middelgrootte beleggingen bestaan er meestal gameplannen, die beter-passende risico's en rendementen laten verwachten dan die in het professionele circuit worden aangeboden.
In dit spel van tegengestelde krachten kun je voor het meegaan met een kudde kiezen of je eigen keuzes kwantificeren en optimaal laten gedijen.

Wat is de beschikbare software?
We kennen vier softwareprogramma’s waarmee een gameplan kan worden opgezet. De eerste drie zijn SmartQuant, QuantShare, en DLPAL. Die drie programma’s zijn gebaseerd op technische indicatoren met een focus op intraday handelen (High-Frequency trading) van individuele beleggingen. De laatste, DigiFundManager, is gebaseerd op het berekenen en verkrijgen van optimale beleggingsportefeuilles, door gebruik te maken van “schone” historische Market-On-Close beursgegevens en werkt met een vooraf vast ingesteld handelsinterval dat door de gebruiker is ingesteld op een veelvoud van een week (Low-Frequency trading). Iedere optimale portefeuille kan op unieke wijze afgestemd worden op de eigen persoonlijke behoeften, beleggingsdoelstellingen en omstandigheden. De complete set van optimale beleggingsportefeuilles wordt gevalideerd over een vooraf ingestelde validatieperiode. Deze vier programma’s lijken ons transparant te zijn in hun concepten en modelleringen. We hebben geen bewijs gezien dat HF-handelen meer resultaat oplevert dan LF handelen. Dat is te begrijpen vanuit het oogpunt dat regressie naar het gemiddelde effectiever lijkt te zijn dan trend volgen en dat het eerste systeem weinig van doen heeft met de frequentie van handelen.

Jan G. Dil en Nico C. J. A. van Hijningen,
26 februari, 2019.