Het Modelleren van Beleggen versus het Modelleren van Natuurkunde

Hoe modelleer en digitaliseer je beleggingsmanagement? 
De activiteiten van beleggingsmanagement bestaan uit zes processen:

1. screenen,
2. ranken,
3. portefeuillegrootte bepalen
4. timen,
5. wegen, en
6. valideren.

Screenen is een filterproces, en ranken is een sorteerproces. De bepaling van de portefeuillegrootte stelt men in staat om de grootte van je investeringsbedrag hieraan te koppelen. Timen en wegen gebruiken schattingstechnieken of regressie om de optimale timing- en weegvoorwaarden te berekenen op basis van je beleggingsdoelstelling. Valideren is het proces van back testen met een vaste handelsfrequentie over een vooraf gegeven validatieperiode. Het stelt je in staat om sterke en blijvende correlaties in het frequentiespectrum van Wall Street's willekeurige prijsfluctuaties op te sporen gedurende de levensduur van de waardepapieren. 

De drie uitdagingen van kwantitatief financieren
Vanuit wiskundig oogpunt hoef je slechts drie praktische vragen te beantwoorden als je de rendementen van je beleggingsplan wilt maximaliseren en/of je risico's wilt minimaliseren:

De drie antwoorden
Het antwoord op de eerste vraag is een techniek die Statistical Arbitrage wordt genoemd. Iedere beleggingsperiode rank je de waardepapieren naar afnemende waarschijnlijkheid om in waarde te verhogen, waarbij je de hoogste rangen als je long posities neemt. Het antwoord op de tweede vraag wordt gegeven door het power spectrum van de prijsfluctuaties zoals uitgedrukt door het Wiener-Khinchin-Einstein theorema. Het power spectrum is de grafiek waarin het beleggingsdoel gegeven wordt als functie van van de handelsfrequentie. Als beleggingsdoel wordt meestal rendementsmaximalisatie, risicominimalisatie, of het maximaliseren van de de ratio van de twee genomen. De handelsfrequentie met het hoogste rendement, het kleinste risico, en/of de grootste ratio van die twee geeft je de sterkste autocorrelaties over de voortschrijdende tijd. Daarom worden sterke autocorrelaties in verband gebracht met bepaalde handelsfrequenties die toegepast worden over tijden van economische voor- en tegenspoed. De derde vraag verwijst naar een techniek die wijd en zijd toegepast wordt in het vakgebied van de signaal processing, vaak gebruikmakend van de gradient descent methode. Je ontwikkelt de portefuille rendementen in een gewogen sommatie van de individuele rendementen gedurende iedere beleggingsperiode en berekent dan de weegfactoren bij een geoptimaliseerde beleggingsdoelstelling.. Zulke portefeuilles worden optimal portfolios genoemd.  

Hoe kan een back test je beste voorspeller van succes worden?
Om het jaarlijkse rendement en de maximale drawdown over economische voor- en tegenspoed te berekenen als functie van de handelsfrequentie moet je een back test uitvoeren van IPO tot vandaag. Het wordt vaak botweg gesteld dat een back test niets betekent voor het toekomstige succes van je gameplan. Voor ons is dat het botweg ontkennen van autocorrelaties in de power spectra van Wall Street's willekeurige prijsfluctuaties. Volgens een uitspraak in 2005 van Jim Simons, de oprichter van RenTech in 1978, zijn behaalde resultaten in het verleden je beste voorspeller van succes. De werkelijke resultaten van zijn Medallion fund vormen het onmiskenbare praktische bewijs dat het verleden op Wall Street inderdaad je beste voorspeller van het heden is: https://www.bloomberg.com/news/articles/2016-11-21/how-renaissance-s-medallion-fund-became-finance-s-blackest-box .

In-sample-voorspelling versus out-of-sample voorspelling
Onze software berekent optimale beleggingsportefeuilles en maakt daarbij gebruik van historische eindedagskoersen van Wall Street die beginnen in 1962 en gaan tot en met de laatste handelsdag van iedere week, gewoonlijk een vrijdag. Het programma neemt dan aan dat deze optimale portefeuilles optimaal blijven gedurende de volgende week, zodanig dat herbalancering een handelsdag later plaatsvindt bij het sluiten van de beurs, gewoonlijk op een maandag. Onze software berekent de risico's en rendementen van de vrijdag portefeuilles zoals gebeurt bij een in-sample voorspelling. Maar belangrijker is dat de software ook de risico's en rendementen berekent van de maandag portefeuilles zoals gebeurt bij een out-of-sample voorspelling. 

De zes activiteiten van portefeuillemanagement
De zes activiteiten (1) - (6) van beleggingsmanagement behelzen niet alleen de bepaling van risico's en rendementen die behaald zijn in het verleden tot en met de laatste vrijdag maar ook de samenstelling van de portefeuille die je komende maandag gaat beleggen. Je huidige portefeuille wordt berekend aan het begin van de huidige beleggingsperiode die komende maandag begint na afgelopen vrijdag. Het screening proces betreft  bijvoorbeeld het screenen voor een minimum gemiddelde handelsdagliquiditeit. Je zou kunnen stellen dat de effecten waarin je wilt beleggen een handelsdagliquiditeit hebben die groot is ten opzichte van het beleggingsbedrag per effect, zodat je handelt in Perfect Competition. Ranking van de gescreende effecten wordt door Statistical Arbitrage gerealiseerd, afgekort als StatArb. Ranking kan worden beschouwd als te worden veroorzaakt door een drift term in de veranderingssnelheid van de kansdichtheidsfunctie of door een diffusieproces waarin de gootste prijsval de grootste waarschijnlijkheid heeft om de koersval te keren. Drift en diffusie zijn de twee termen die de veranderingssnelheid van de kansdichtheidsfunctie in de Fokker-Planckvergelijking bepalen. In de kwantitative analyse van de financiële markten komen die termen overeen met ranking mechanismen die gebaseerd zijn op trend-volging en trend-omkering.

Wegen volgens Markowitz en risicofactoren volgens Fama-French
De wiskundige formulering van wegen werd door Markowitz in 1952 geïntroduceerd door de portefuillekoersveranderingen in een lineaire reeksontwikkeling van gewogen individuele koersveranderingen te beschrijven. Hij stelde voor om de variantie van de gewogen portefeuilleresultaten te minimaliseren en nam een Normale waarschijnlijkheidsverdelingsfunctie aan voor deze resultaten. Standaard regressie geeft dan de weegfactoren. Wij maximaliseren de Rendement/risico ratio (= MAR-ratio) met de maximale terugval als Risico en de som van gewogen jaarlijkse resultaten als Rendement. Wij maximaliseren de MAR ratio door in een wiskundige zoektocht de gradient ascend techniek te gebruiken. Door de MAR-ratio te maximaliseren bereken je optimal portfolios. Deze optimale portefeuilles worden zodanig gewogen dat je beleggingsdoel bereikt wordt met geminimaliseerd risico en gemaximaliseerd rendement. De uitbreiding van een risicofactor naar een beperkt aantal risicofactoren werd in 1993 geïntroduceerd door Fama-French. Deze benadering voegt nuisance parameters toe maar geen nieuwe informatie aan het optimalisatieproces van de weegfactoren dat oorspronkelijk door Markowitz werd geïntroduceerd.

Machine leren (ML), neuro linguïstisch programmeren (NLP), en kunstmatige intelligentie (KI)
ML, NLP, en KI zijn technieken die aanname (3) parametriseren. Zolang koersfluctuaties fundamenteel onvoorspelbaar blijven volgens aanname (1), zal het toepassen van deze technieken resulteren in het fitten van nuisance parameters wat geen nieuwe informatie oplevert. In Einsteins formulering van de Brownse beweging wordt de verbinding tussen verleden, heden, en toekomst van iedere individuele fluctuatie bepaald door de diffusievergelijking met de diffusiecoëfficiënt als fundamentele parameter. Equivalente parameters voor koersbewegingen kwantificeren nuisance parameters, daar voor portefeuillemanagement alleen screening, ranking, weeg, en timing parameters van direct belang zijn.

Geeft fundamentele analyse een concurrentievoordeel?
Naast aannames die het risicogedrag van de financiële markten betreffen, geven financiële experts vaak hun DCF (Discounted Cash Flow) projecties voor individuele effecten of voor ander soort beleggingen. Ze baseren die projecties op eigen informatie, laatste nieuws, en eigen inzicht. Deze projecties in de toekomst worden vaak schattingen van analisten genoemd. Dergelijke toekomstige schattingen of veranderingen daarin kunnen als extra voorwaarden aan de ranking modellen of schattingstechnieken opgelegd worden. Deze additionele voorwaarden beïnvloeden de toekomstige bewegingen van de financiële markten. Daarom zal de belegger die hiervan als eerste de consequenties begrijpt een concurrentievoordeel hebben. 

Geeft Technische analyse een concurrentievoordeel?
Naast aannames die de propagatie van het algemene risicogedrag en het toekomstige gedrag van individuele investeringen ten gevolge van fundamentele analyse (DCF) betreffen, wordt aan bepaalde patronen van technische indicatoren geloof gehecht dat ze mogelijk resulteren in winstgevende beleggingen. Dergelijke beleggingssystemen vereisen vaak een tijdsresolutie van minder dan een kwart van een seconde, en dat speelveld is niet gelijk voor iedere deelnemer. Bovendien zijn de trendvolgende patronen van technische analyse nog niet wetenschappelijk onderbouwd. 

Geeft algoritmisch handelen een concurrentievoordeel?
Algoritmisch handelen digitaliseert het zoeken naar de beste deal voor de belegging op het tijdstip dat daarvoor gepland staat. De kleinste tijdseenheid waarmee gehandeld wordt kan van de ordegrootte worden van een microseconde en wordt dan een belangrijk onderdeel van het handelen. Dat maakt het speelveld niet gelijk voor iedere deelnemer. In de praktijk betekent dit dat de kosten van het opschudden van de berekende optimale portefeuille per handelsalgoritme kunnen verschillen. De uitkomst van dergelijke handelsalgoritmes kunnen anders uitvallen voor dezelfde optimale portefeuilles op verschillende tijdstippen. Daarom zijn de resultaten van dergelijke algoritmes lastig te back testen of te valideren. Wij geven er de voorkeur aan om Market-On-Close orders te gebruiken (zie verderop). Zulke orders hebben een voorspelbare kostenstructuur en uitkomst en zijn goed toe te passen in het gebied van Low-Frequency trading waar wij opereren. We erkennen echter wel dat bij High-Frequency trading algoritmisch handelen een concurrentievoordeel voor de handelskosten en prijsstellingen kan geven.            

Welk soort orders maakt het valideren mogelijk van je beleggingssysteem of game plan?
Of op de lange-termijn de hierboven beschreven additionele informatie de geïnformeerde belegger op een concurrentievoordeel zet kan direct worden afgeleid uit het systematisch back testen van de beleggingen voor- en achteraf. Valideren is in principe mogelijk met Market-On-Close (MOC) orders, waarbij ook nog gescreend kan worden op een minimum liquiditeit, zodat de voorwaarde voor Perfecte Concurrentie benaderd wordt. Zulke orders lijken een gelijk speelveld voor iedere belegger te creëren. Zolang de extra informatie wordt opgelegd op het ranking model of op de schattingstechniek nadat het gemeengoed is geworden, zal het wat ons betreft niet uitmaken. In dat geval is de additionele informatie reeds verwerkt in de historische koersgegevens die door de schattingstechnieken gebruikt worden. Zolang de additionele informatie nog geen gemeengoed is, kunnen beleggers die er wel van weten van profiteren. De lijn tussen voorkennis en gemeengoed is het vakgebied van de financiële autoriteiten. 

Zijn de gewogen gemiddelden van het verleden de verwachtingswaarden van de toekomst?
Net zoals in het vakgebied van verzekeringen zijn in de financiële markten de gewogen gemiddelden van het verleden de verwachtingswaarden van de toekomst. Om verwachtingswaarden in de financiële markten te berekenen zijn er geen distributiefuncties, noch enige set van wetten of regels die de dynamica van de financiële markten zouden beheersen nodig. Alleen de “schone” historische koersgegevens zijn nodig om de beste fit te berekenen tussen deze historische gegevens en de optimaal-gewogen en getimede beleggingsportefeuilles. Die optimale beleggingsportefeuilles zijn optimaal afgestemd op ieders eigen beleggingsdoelstelling en keuzes van hoe risico’s met rendementen gebalanceerd moeten worden. Als een eerste benadering kan men het gewogen gemiddelde als een lineaire optelsom van gewogen financiële resultaten beschouwen als ergodiciteit als statistisch gedrag wordt aangenomen. Als je je beleggingsdoelstelling als wiskundige doelstelling van je schattingstechniek neemt, dan zullen de geschatte weegfactoren op ieder gewenst tijdstip resulteren in optimaal gewogen en getimede beleggingsportefeuilles. De lengte van een back test (validatie) kan als een maat voor de betrouwbaarheid van je game plan genomen worden en dient van IPO naar vandaag te lopen om maximale betrouwbaarheid te geven als verwachtingswaarde van de portefeuilleresultaten. Daarbij moet wel met een vaste beleggingsperiode getest worden: High-Frequency handelen in tegenstelling tot de buy-and-hold van Markowitz.

Dus hoe modelleer en digitaliseer je de activiteiten van beleggingsmanagement?
Je hebt een webdesigner, softwareprogrammeur en systeembeheerder nodig. De webdesigner ontwerpt de lay-out van de gebruikersinterface van het programma, omdat alle moderne applicaties via een browser gaan. De softwareprogrammeur schrijft de codes van de applicatie (de zes processen) en beheert de cross-platform events. De zogenaamde quant is degene die de zes processen van een belegger in fondsen begrijpt en weet hoe hij die processen moet modelleren en in softwarecode om moet zetten. Gewoonlijk schrijft een andere softwareprogrammeur de event-gedreven cross-platform codes. De systeembeheerder zorgt voor de hosting, de setup en onderhoud van de verschillende servers en van het Content Management System. Het gebruik van Market-On-Close orders zorgt ervoor dat er voor- en achteraf betrouwbaar gevalideerd kan worden. 

Hebben banken niet de verantwoordelijkheid instabiliteit van het financiële systeem te voorkomen?
Als banken hun quants willen laten spelen met niet-lineaire modellen en grote posities, dan is vanuit wiskundig oogpunt bekend dat optimalisatie routines vatbaar zijn voor instabiliteiten en lokale optima. Dus als grote spelers het spel spelen van niet-lineair modelleren, dan kan de uitkomst van het spel een instabiel evenwicht zijn.

Iedere privébelegger heeft zijn eigen set van keuzes en omstandigheden die horen bij zijn eigen unieke beleggingsfonds.
De zes rationale processen van beleggingsmanagement laten het bestaan en de berekening toe van zogenaamde optimale portefeuilles. Iedere optimale portefeuille is op ieder gegeven tijdstip anders en op unieke wijze afgestemd op de investeringsgrootte, portefeuillegrootte, investeringsdoelstellingen voor het in balans brengen van risico’s en rendementen, en op de uniek ingestelde screen- en rankvoorwaarden bij een gegeven kwaliteit van de dataprovider en hoogte van de brokerkosten. Praktisch iedere individuele set van keuzes en omstandigheden vertaalt zich naar een unieke set van optimale beleggingsportefeuilles waarvan de risico’s en rendementen gevalideerd kunnen worden over een van te voren ingesteld aantal jaren. Het is een wetenschappelijk proces zonder bedrijfsgeheimen.  

Na uitgebreid back testen van verschillende gameplannen kunnen onze bevindingen als volgt worden samengevat: 

• Onze StatArb en voorspellingsalgoritmes zijn concurrerend met de beste in de markt.
• Sterke en volhardende autocorrelaties kunnen opgespoord worden in Wall Street's power spectrum van in-brede-zin stationaire willekeurige prijsfluctuaties.
• Als je wekelijks de zes tot honderd hoogste en laagste rangen als long en short posities van Wall Street's 8000 non-OTC effecten selecteert, dan zijn je verwachte resultaten concurrerend met die van RenTech's Medallion Fund over de afgelopen 30+ jaar.
• Voor kleinere en middelgrote beleggingen betaalt het zichzelf terug om je eigen actieve beleggingsplan te ontwerpen dat afgestemd is op je eigen persoonlijke behoeftes en eisen.
• In deze business arena van tegengestelde krachten heb je de keuze om in een keurslijf van een gemeenschappelijke noemer te geraken, of om je eigen keuzes te kwantificeren en die optimaal te laten opbloeien. 

De praktijk wijst het uit.
Ieder efficiënt ranking systeem zou iedere week gedurende de afgelopen 34 jaar de top 6 long posities van de huidige 8000 actieve non-OTC stocks van Wall Street moeten kunnen ranken waarbij eerst enkele screening voorwaarden toegepast worden en dan jaarlijks ongeveer 67% aan rendement moeten genereren:

The MAR ratio is 1.14 met een CAGR van 67%, YTD = 58.1% op vrijdag 22 november 2019 bij het sluiten van de markt, de individuele winratio voor effecten is 53%, de portefeuille winratio is 58%, en de wekelijkse effecten herbalancering is 85%. Het interessante is dat er evenveel verschillende beleggingsstrategieën zijn als dat er kleine kwantitatieve beleggers zijn, waarbij iedere beleggingsstrategie afgestemd is op de persoonlijke eisen en behoeften. 

What is the available software?
We kennen vier softwareprogramma’s waarmee een gameplan kan worden opgezet. De eerste drie zijn Research Wizard, Portfolio123, en Wealth-Lab. Die drie programma’s zijn gebaseerd op technische en fundamentele analyse en op High-Frequency trading van individuele beleggingen. De laatste, DigiFundManager, is gebaseerd op het berekenen en verkrijgen van optimale beleggingsportefeuilles, door gebruik te maken van “schone” historische Market-On-Close beursgegevens en werkt met een vooraf vast ingesteld handelsinterval dat door de gebruiker is ingesteld op een veelvoud van een week (High to Low-Frequency trading). Iedere optimale portefeuille kan op unieke wijze afgestemd worden op de eigen persoonlijke behoeften, beleggingsdoelstellingen en omstandigheden. De complete set van optimale beleggingsportefeuilles wordt gevalideerd over een vooraf ingestelde validatieperiode. Deze vier programma’s lijken ons transparant te zijn in hun concepten en modelleringen. We hebben geen bewijs gezien dat HF-handelen meer resultaat oplevert dan LF handelen. Dat is te begrijpen vanuit het oogpunt dat regressie naar het gemiddelde effectiever lijkt te zijn dan trend volgen en dat het eerste systeem weinig van doen heeft met de frequentie van handelen.  

Jan G. Dil en Nico C. J. A. van Hijningen,
02 juni, 2024.